Өмнө танилцуулсан
Робинзон Крузо бүхий төлөөлөгч агентын эдийн засгийн шийдийг Вариацийн аргаар
олохдоо тогтвортой төлөвт байна гэж үзсэн. Учир нь ханамжийн функц,
үйлдвэрлэлийн функц нь үе бүр дээр өөрчлөгдөхгүй ижил тул төлөөлөгч агент
хугацаанаас үл хамааран ижил асуудалтай тулгарна. Гэхдээ хэрэв эдийн засаг
тогтвортой төлөвт байгаагүй ч төлөөлөгч агентад тулгарч буй эдийн засгийн
асуудал нь мөн адил өөрчлөгдөхгүй.
Үүнийг рекурсив аргаар шийдэж болно. Рекурсив
аргын давуу тал нь бид тогтвортой төлөвт байгаагүй нөхцөлд ч шийдвэр гаргалтын
замыг тодорхойлох боломжтой. Энэ нь удирдлагын функцийг тодорхойлж анхны
нөхцөлөөс оновчтой шийдвэр гаргалтын дагуу хувьсагчид өөрчлөгдөнө. Өртгийн
функцийг танилцуулахаас өмнө удирдлагын хувьсагч (control variable) болон төлөв байдлын хувьсагчийг ялгах хэрэгтэй.
Удирдлагын функц гэдэг нь тухайн шийдвэрийг гаргаж буй t хугацаанд хязгаарлалтын хүрээнд ханамжийг хамгийн их байлгахаар сонгож
буй хувьсагчид юм (тухайлбал хэрэглээ,t; капитал,t+1). Харин тухайн шийдвэр
гаргаж буй хугацаанд аль хэдийн тодорхойлогдчихсон хувьсагч (тухайлбал капитал,t). Загварын бичиж буй судлаач өөрөө аль
хувьсагчийг удирдлагын аль хувьсагчийн төлөв байдлыг сонгох боломжтой.
Өртгийн функд гэдэг нь бид төсвийн
хязгаарлалтын хүрээнд зорилгын функцаа хамгийн их байлгах үед хүртэж буй
ханамжийг өнөөгийн үнэ цэнэ лүү шилжүүлэн өртгийг өргийн функцийн дагуу тооцоолох
боломжтой гэж таамагладаг. Ханамжийн функцийг хэрэглээг нь орлуулаад t+1 үеийн капиталын удирдлагын хувьсагчаарх дараах байдлаар өртгийн функцийг
бичиж болно.
Өртгийн функцаас харахад ирээдүйд хүртэх
ханамжуудын өнөөгийн үнэ цэнэ луу шилжүүлсэн дүнгийн нийлбэр байна. Үүнийг t
хугацааны үе дах өртгийн функцийг тухайн үеийн ханамж болон t+1
үеийн өртгийн функцийн дискаунтчилсан хэлбэрээр бичиж болно.
Үүнийг Бэллманы тэгшитгэл хэмээн нэрлэдэг.
Удирдлагын хувьсагч нь дараа үеийн капиталын
хэмжээ бөгөөд дараа үеийн өртгийн функцийн утга мэдэгдэхгүй байгаад асуудлын
гол нь байна. Шийдийг олох үед тодорхой бус байгаа өртгийн функцийн дараа үеийн
капиталаар авсан уламжлалыг дугтуйн теоремоор (envelope theorem) олдог.
Тэгшитгэл 4-ийг нэг үе хойш ухраавал k+1 үеийн хувьд өртгийн функцийн уламжлалыг тодорхойлж болно. Эндээс хугацааны
хувьд хэрэглээний шийдвэр гаргалт буюу Эелэрийн тэгшитгэл дараах байдлаар
гарна.
Тэнцвэрт нөхцөлд вариацийн аргатай ижил үр дүн
буюу капиталын ахиу үр өгөөжийг элэгдлээр хорогдуулсан нь хугацаа хоорондын орлуулалтын мэдрэмжтэй
тэнцэнэ.
Одоо өмнө танилцуулсан Робинзон Крузогийн
төлөөлөгч агентийн хувьсах хөдөлмөрийн эдийн засгийн хувьд рекурсив аргыг
дараах байдлаар ашиглана. Ханамжийн функц болон төсвийн, үйлдвэрлэлийн
хязгаарлалт
Эндээс Бэллманы тэгшитгэл дараах байдлаар бичигдэх
ба 2 удирдлагын хувьсагчийн хувьд авсан нэгдүгээр эрэмбийн нөхцөл дараах байдлаар
бичигдэнэ.
Харин дугтуйн теоремийн нөхцөл,
Дээрхээс,
Дээрх
Бэллманы зарчмыг ерөнхий тохиолдолд дараах байдлаар [гараар бичсэнээ оруулав, жоохон муухай бичигтэй (: ] тодорхойлж болно.
Загварын тавилаас шалтгаалан дараах тохиолдлууд
үүсч болно. Хэрэв Fx(G(xt,yt),yt+1)
нь yt+1-аас хамааралгүй
бол дугтуйн теоремийг ашиглах шаардлагагүйгээр өртгийн функцийг шууд
максимумчилж болно. Хэрэв Fx(G(xt,yt),yt+1)
нь yt+1-аас хамааралтай
бол тогтвортой төлвийг yt=yt+1 гэсэн зарчмаар олж болно. Мөн Gx(xt,yt)=0
тохиолдол биелэхгүй бол өртгийн функцийг тоогоор
итрацлан ойролцоолж олж болж болно. Гэхдээ дугтуйн теоремийг ашиглаж буй нэг
заль нь Gx(xt,yt)=0
байхаар удирдлагын функцийг сонгох юм.
ЭХ СУРВАЛЖ:
Bellman, R. (1957) Dynamic Programming,
Princeton University Press, Princeton.
Benveniste, L., and jose Scheinkman
(1979) "On the Differentiability of the Value Function in Dynamic Models
of Economics," Econometrica, 47, pp. 727-732.
McCandless, G. (2008). THE ABCs oF RBCs:
an introduction to dynamic macroeconomic models. HARVARD UNIVERSITY PRESS.
Robert J. Barro; Xavier Sala-i-Martin.
(2004). ECONOMIC GROWTH. Massachusetts Institute of Technology.
Gal2
ReplyDelete