Өртгийн функц, динамик программчлал (Бэллман)

Өмнө танилцуулсан Робинзон Крузо бүхий төлөөлөгч агентын эдийн засгийн шийдийг Вариацийн аргаар олохдоо тогтвортой төлөвт байна гэж үзсэн. Учир нь ханамжийн функц, үйлдвэрлэлийн функц нь үе бүр дээр өөрчлөгдөхгүй ижил тул төлөөлөгч агент хугацаанаас үл хамааран ижил асуудалтай тулгарна. Гэхдээ хэрэв эдийн засаг тогтвортой төлөвт байгаагүй ч төлөөлөгч агентад тулгарч буй эдийн засгийн асуудал нь мөн адил өөрчлөгдөхгүй.

Үүнийг рекурсив аргаар шийдэж болно. Рекурсив аргын давуу тал нь бид тогтвортой төлөвт байгаагүй нөхцөлд ч шийдвэр гаргалтын замыг тодорхойлох боломжтой. Энэ нь удирдлагын функцийг тодорхойлж анхны нөхцөлөөс оновчтой шийдвэр гаргалтын дагуу хувьсагчид өөрчлөгдөнө. Өртгийн функцийг танилцуулахаас өмнө удирдлагын хувьсагч (control variable) болон төлөв байдлын хувьсагчийг ялгах хэрэгтэй. Удирдлагын функц гэдэг нь тухайн шийдвэрийг гаргаж буй t хугацаанд хязгаарлалтын хүрээнд ханамжийг хамгийн их байлгахаар сонгож буй хувьсагчид юм (тухайлбал хэрэглээ,t; капитал,t+1). Харин тухайн шийдвэр гаргаж буй хугацаанд аль хэдийн тодорхойлогдчихсон хувьсагч (тухайлбал капитал,t). Загварын бичиж буй судлаач өөрөө аль хувьсагчийг удирдлагын аль хувьсагчийн төлөв байдлыг сонгох боломжтой.

Өртгийн функд гэдэг нь бид төсвийн хязгаарлалтын хүрээнд зорилгын функцаа хамгийн их байлгах үед хүртэж буй ханамжийг өнөөгийн үнэ цэнэ лүү шилжүүлэн өртгийг өргийн функцийн дагуу тооцоолох боломжтой гэж таамагладаг. Ханамжийн функцийг хэрэглээг нь орлуулаад t+1 үеийн капиталын удирдлагын хувьсагчаарх дараах байдлаар өртгийн функцийг бичиж болно.

Өртгийн функцаас харахад ирээдүйд хүртэх ханамжуудын өнөөгийн үнэ цэнэ луу шилжүүлсэн дүнгийн нийлбэр байна. Үүнийг t хугацааны үе дах өртгийн функцийг тухайн үеийн ханамж болон t+1 үеийн өртгийн функцийн дискаунтчилсан хэлбэрээр бичиж болно. Үүнийг Бэллманы тэгшитгэл хэмээн нэрлэдэг.

Удирдлагын хувьсагч нь дараа үеийн капиталын хэмжээ бөгөөд дараа үеийн өртгийн функцийн утга мэдэгдэхгүй байгаад асуудлын гол нь байна. Шийдийг олох үед тодорхой бус байгаа өртгийн функцийн дараа үеийн капиталаар авсан уламжлалыг дугтуйн теоремоор (envelope theorem) олдог.

Тэгшитгэл 4-ийг нэг үе хойш ухраавал k+1 үеийн хувьд өртгийн функцийн уламжлалыг тодорхойлж болно. Эндээс хугацааны хувьд хэрэглээний шийдвэр гаргалт буюу Эелэрийн тэгшитгэл дараах байдлаар гарна. 

Тэнцвэрт нөхцөлд вариацийн аргатай ижил үр дүн буюу капиталын ахиу үр өгөөжийг элэгдлээр хорогдуулсан нь  хугацаа хоорондын орлуулалтын мэдрэмжтэй тэнцэнэ.

Одоо өмнө танилцуулсан Робинзон Крузогийн төлөөлөгч агентийн хувьсах хөдөлмөрийн эдийн засгийн хувьд рекурсив аргыг дараах байдлаар ашиглана. Ханамжийн функц болон төсвийн, үйлдвэрлэлийн хязгаарлалт

Эндээс Бэллманы тэгшитгэл дараах байдлаар бичигдэх ба 2 удирдлагын хувьсагчийн хувьд авсан нэгдүгээр эрэмбийн нөхцөл дараах байдлаар бичигдэнэ.

Харин дугтуйн теоремийн нөхцөл,

Дээрхээс,

Дээрх Бэллманы зарчмыг ерөнхий тохиолдолд дараах байдлаар [гараар бичсэнээ оруулав, жоохон муухай бичигтэй (:  ] тодорхойлж болно.

Загварын тавилаас шалтгаалан дараах тохиолдлууд үүсч болно. Хэрэв F_x(G(x_t,y_t),y_t+1) нь y_t+1-аас хамааралгүй бол дугтуйн теоремийг ашиглах шаардлагагүйгээр өртгийн функцийг шууд максимумчилж болно. Хэрэв F_x(G(x_t,y_t),y_t+1) нь y_t+1-аас хамааралтай бол тогтвортой төлвийг y_t=y_t+1 гэсэн зарчмаар олж болно. Мөн G_x(x_t,y_t)=0 тохиолдол биелэхгүй бол өртгийн функцийг тоогоор итрацлан ойролцоолж олж болж болно. Гэхдээ дугтуйн теоремийг ашиглаж буй нэг заль нь G_x(x_t,y_t)=0 байхаар удирдлагын функцийг сонгох юм.

ЭХ СУРВАЛЖ:

Bellman, R. (1957) Dynamic Programming, Princeton University Press, Princeton.

Benveniste, L., and jose Scheinkman (1979) "On the Differentiability of the Value Function in Dynamic Models of Economics," Econometrica, 47, pp. 727-732.

McCandless, G. (2008). THE ABCs oF RBCs: an introduction to dynamic macroeconomic models. HARVARD UNIVERSITY PRESS.

Robert J. Barro; Xavier Sala-i-Martin. (2004). ECONOMIC GROWTH. Massachusetts Institute of Technology.

Өмнөх холбоос>Вариацийн арга

Барьж байгуулах хугацаа (Kydland & Prescott, 1982)

Эдийн засгийн хэлбэлзлийн нийт эрэлтийн талын тайлбарыг няцаан Лукасын дуудлагад хариу өгч, Бодит Бизнесийн Мөчлөгийн онолын үндсийг эхлүүлсэн гол бүтээлүүдийн нэг бол Кидланд болон Прескоттын (1982) “Барьж байгуулах хугацаа хугацаа” юм. 2004 онд эдгээр эрдэмтэд нобелийн шагнал хүртэхэд уг бүтээл иш татагдсан байдаг. Тэд бизнесийн хэлбэлзлийн үүсгэгч гол хүчин зүйл бол нийлүүлэлтийн буюу бодит шок ялангуяа технологийн шок гэж үздэг.  Өсөлт болон мөчлөг нь нэг судлагдахуун ба ажил эрхлэлтийн хэлбэлзэл нь хэрэглээ болон  чөлөөт цагаас хамаардаг гэдгийг харуулсан. Бүтээн байгуулалт нь хэд хэдэн үе шаттай. Капиталын бүтээгдэхүүнийг бий болгохын тулд хэд хэдэн үе шаардлагатай ба дутуу бүтээгдсэн капитал нь өсөлтийг бий болгохгүй. Нэг үет хөрөнгө оруулалт болон үйлдвэрлэлийг шүүмжилсэн ба цаг хугацаанаас үл хамаарах ханамжийн функцийн чөлөөт цагийн үе хоорондын орлуулалтын харьцаа өндөр байх шаардлагатай. Технологи болон үйлдвэрлэлийн бүтээмжийн тодорхой бус байдал гэсэн хоёр төрлийн гадаад шокийг загварт суулгасан. Тэд уг шокиуд хиймэл эдийн загсийг хэрхэн хэлбэлзүүлж байгааг харахын тулд калибрац, симуляцийн аргыг ашигласан ба квадратлаг ойролцооллын аргаар шугамчилсан.

Тэд судалгаандаа дараах тавилийг авч үзсэн.

Өрхүүд

Энд γ < 1 бөгөөд тэгтэй тэнцэхгүй. Ханамжийн функц нь эрсдэлд харьцангуй тогтмол дургуй хэлбэртэй бөгөөд эрсдэлд дургүй байх зэрэг нь 1-γ байна. Мөн ханамжид өрхийн зах зээлийн бус үйл ажиллагааг багтаасан байна.

Капиталын өөрлөлтийн хуулийн тэгшитгэл:

Энд s_jt нь J үе шаардагддаг бүтээмж бүхий капиталийг бий болгох j-р үед явагдаж буй хөрөнгө оруулалтын төслүүдийн тоо юм.

Төсвийн хязгаарлалт

Энэ судалгааны ажилд хөрөнгө оруулалт нь бүтээмж бүхий шинэ капитал болоход олон үе шаардлагатайг онцолсон. Өөрөөр хэлбэл ихэнх загварт нэг л төрлийн капиталыг авч үздэг бөгөөд тодорхой хувиар элэгддэг. Гэвч бодит байдалд олон төрлийн капиталууд өөр өөр хувиар элэгддэгийг онцолсон (Kydland & Prescott, 1982, 1984). Энэ нь АНУ-гийн өгөгдөлтэй нийцтэй байсан. Ойлгоход хэцүү таамаглалтай байсан ч уг ажлаас дараах 3 дүгнэлтийг хийж болно.

Нэгдүгээрт, Лукас ба Прескот (1971) нарын санаа дээр суурилсан хандлага буюу “Бизнесийн мөчлөг нь динамик ерөнхий загвараар судлагдах боломжтой”. Уг загвар өрсөлдөөнт зах зээлд үйл ажиллагаа явуулдаг рационал хүлээлт бүхий төлөөлөгчийн үйл хөдлөлөөс хамаарна.

Хоёрдугаарт, бизнесийн мөчлөгийн загвар урт хугацааны өсөлтийн эмпирикээр загварчлах тул бизнесийн мөчлөг болон өсөлтийн онолыг нэгтгэж болно.

Гуравдугаарт, 1982 он хүртэл загваруудыг тогтсон баримттай харьцуулдаг чанарын харьцуулалтаас илүү үр дүнд хүрнэ. Параметрүүдийг калибрац хийж, микро болон урт хугацааны эдийн засгийн шинж чанаруудаар загварыг өргөтгөн хиймэл туршилт хийж бодит байдалтай харьцуулах боломжтой (Kydland & Prescott, 1982).

                                       Финн Е.Кидланд              Edward К.Prescott  

                                             (1943-  )                             (1940-  )

Кидланд болон Прескотт нар (1982, 1984) өсөлтийн загварыг үндсэн 2 чиглэлийн хүрээнд өргөтгөсөн байдаг.

1.      Хугацааны хоцрогдол бүхий чөлөөт цаг ба зах зээлийн бүтээгдэхүүн нь хэрэглээний бүтээгдэхүүнийг бий болгоход нөлөөлдөг. Кидланд (1983) уг хоцрогдлыг талаар авч үзсэн бөгөөд өрхийн үйлдвэрлэлийн талаар мөн дурсан.

2.      Хоёрдугаарт, өрхийн хөдөлмөрлөж буй цагийн өөрчлөлтийг капитал хэрэглээтэй ижил боломжтой болгосон. Энэ нь хөдөлмөрийн нийлүүлэлтийн өсөлт нь хөдөлмөрийн ахуй бүтээмжийг бууруулахгүй. Улмаар хөдөлмөрийн хөдөлмөр нь технологийн шокод илүү мэдрэмжтэй болно. Уг онцлог нь АНУ-гийн эдийн засгийн үзүүлэлтээс харагддаг.

Эцэст нь дүгнэхэд Кидланд болон Прескотт нар бизнесийн судалгааны хандлагад цоо шинэ хандлагыг оруулж ирсэн. Тэд энгийн шугаман-квадратлаг эдийн засгийн бий болгосон бөгөөд детерминистик үетэйгээ ижил тогтвортой төлөвтэй бөгөөд тодорхой бус байдлыг энгийнээр оруулсан. “Технологийн өөрчлөлтийн хурд тодорхой бус байгааг өсөлтийн загвар тусгаснаар бизнесийн мөчлөгийн үзэгдэл гэнэтийн, таамаглах аргагүй болж байна” хэмээн Прескотт дүгнэсэн байдаг (Prescott, 1986). Хэдий бодит өгөгдөлтэй төдийлөн сайн нийцээгүй ч цаашдын судалгааны үндэс болсон. Өөрөөр хэлбэл гарцын өөрчлөлтөд анхаарлаа хандуулахаас илүүтэйгээр технологийн дэвшлийг бий болгогч гол хүчин зүйлсийг анхаарах хэрэгтэй. Кидланд болон Прескотт (1982, 1988) нар барьж байгуулах хугацаа буюу хөрөнгө оруулалтын капитал дах хоцрогдолтой нөлөө, капиталын хувьсах хэрэглээ, өмнөх үеийн утгуудаасаа хамаарсан чөлөөт цагийн ханамж, бүтээмжийн талаарх төгс бус мэдээлэл зэргийг онцолсон. Эдгээр нь дэлгэрүүлэн судалж, өргөтгөх сонирхолтой судалгааны сэдэв болсон. Тухайлбал Хансен (1985) тэдний загвар дээр ажил эрхлэлтийн сугалааг нэмж өргөтгөсөн юм. Ажилчид бүтэн цагаар ажиллах эсвэл огт ажиллахгүй байх гэсэн сонголттой тулгардаг. Рожерсоны санаан дээр үндэслэн, Хансен загварчилсан “үл хуваагдах” хөдөлмөр бүхий уг загвар ажилласан цагийн өөрчлөлтийг сайн загварчилж байсан ба бага хэмжээний гадны шок энгийн загваруудтай ижил далайц бүхий хэлбэлзлийг бий болгодог.

ЭХ СУРВАЛЖ:

Kydland, F. E., & Prescott, E. C. (1982). Time to Build and Aggregate Fluctuations. The Econometric Society.

Prescott, E. (1986). Theory ahead of business cycle measurement. Federal Reserve Bank of Minneapolis Quarterly Review, pp. 9–22.

Баасансүрэн, О. (2013). Бодит бизнесийн мөчлөгийн бенчмарк загварын зарим өргөтгөлийн судалгаа. СЭЗДС.

Өмнөх холбоос>Бизнесийн мөчлөгийн судалгааны ажлууд

Вариацийн арга

Өмнө танилцуулсан Робинзон Крузогийн эдийн засгийн шийдийг Вариацийн аргаар хэрхэн олох талаар энд танилцуулна. Хэрэв та бүхний дунд Вариацийн аргын талаар нарийвчилсан мэдлэгтэй хүн байвал холбогдох зөвлөмжийг (шүүмж, засвар) өгвөл тун их таатай байх болно. Ямартай ч өөрийн ойлголтоороо тайлбарлахыг оролдлоо.

Вариацийн аргын гол онцлог нь тухайн эдийн засгийг тогтвортой төлөвтөө байна (t болон t+1 үеийн утгууд тэнцүү) хэмээн үзэж утгыг олдог. Хязгааргүй хугацаанд амьдрагч зөвхөн нэг оролцогчтой энгийн загварын хувьд вариацийн арга дараах байдлаар ашиглагдана. Үйлдвэрлэлийн функц болон ханамжийн функц,

Үйлдвэрлэлийн функц нь Кобб-Дуглас хэлбэртэй, харин ханамж нь хэрэглээнээс эерэг ажиллах цагаас сөрөг хамаарсан логарифмийн нийлбэр хэлбэртэй байна. Ханамжийг хамгийн их байлгахад төсвийн хязгаарлалт болон үйлдвэрлэлийн хязгаарлалттай тулгарна.

Эндээс 2 хязгаарлалын хувьд лагранжийг бичнэ нэгдүгээр эрэмбийн нөхцөлүүдийг эхлэлийн хугацаанаас хойших s хугацааны үед бичвэл,

Вариацийн аргийг нэг үеийн дараагийн утга буюу капиталын s+1 үеийн нэгдүгээр эрэмбийн нөхцөлийг хувьд (тэгшитгэл 8) зорилгын функцийг мөн нэг үе ухраан бэтта үржигдэхүүнтэйгээр дахин уламжлал авсан байгааг анзаарсан байх. Эндээс ламбдагаар хооронд нь тэнцүүлж, мөн ламбдагийн s хугацааны утгыг нэг үе ухраан тэнцүүлбэл дараах үр дүнгүүд гарна.

12 дугаар тэгшитгэлийн хувьд тогтвортой төлөвийн нөхцөлд хэрэглээнүүд хоорондоо тэнцэх ба капиталын ахиу үр өгөөжийг элэгдлээр хорогдуулсан нь хугацаа хоорондын орлуулалтын мэдрэмжтэй тэнцэнэ.

Мөн тогтвортой тэнцвэрт нөхцөлд төсвийн хязгаарлалтаас хэрэглээнээс үлдэх хэсэг буюу хөрөнгө оруулалт нь капиталын элэгдэлтэй тэнцэнэ.

Сүүлийн 3 тэгшитгэлээс хэрэглээ, чөлөөт цаг болон капиталуудын тогтвортой төлөвийг параметруудын утга мэдэгдэж байгаа тохиолдолд олж болно.

ЭХ СУРВАЛЖ:

McCandless, G. (2008). THE ABCs oF RBCs: an introduction to dynamic macroeconomic models. HARVARD UNIVERSITY PRESS.

Robert J. Barro; Xavier Sala-i-Martin. (2004). ECONOMIC GROWTH. Massachusetts Institute of Technology.

Өмнөх холбоос> OLG

Робинзон Крузо

Хэрэв та ганцаараа арал дээр хаягдсан бол яах вэ? Яг л Робинзон Крузо шиг. Та хэр удаан амьдарч чадах бол. Арал дээр ясаа тавих болуу эсвэл амьд үлдэж завь хийн гэртээ харьж чадах болов уу. Надад ч хааяа ийм бодол төрдөг. Тэр арал хэрхэн амьд үлдэх талаар үлгэрийн мэт бодлууд хөвөрдгийг нуугаад яахав.

Тэгвэл энэхүү Робинзон Крузо гэдэг нь Даниел Дефогийн 1719 оны “The Farther Adventures of Robinson Crusoe” нэртэй уран зохиолын гол баатар юм. Энэ зохиолоор нилээн хэдэн кинонууд хийгдсэн байдаг. Надад орчин үеийн Робинзон Крузо гэж хэлж болох Томас Ханксийн тоглосон 2000 оын “Cast Away” кино илүү ойр санагддаг. FedEx-н системийн инженер Чак Ноланд Малайз руу (дахиад л) явж байгаад далайн шуурганд цохиулж номхон далайд осолддог.

Тэр FedEx-н ажилтан хувь хүнийх нь талаас харвал сэтгэлийн хаттай бас ч хүү сэргэлэн, хайр сэтгэлдээ үнэнч залуу. Харамсалтай нь арал дээр тулгарсан хүнд асуудлуудын нэг болох шүдний өвчинг нь эдгээж чадах шүдний эмчтэй (өмнө нь уулзаж байсан) эхнэр болох гэж байсан бүсгүй нь гэрлэчихсэн байсныг эс тооцвол арал дээр алдаад байхгүйгээр дажгүй амьдарчихсан шүү. Мэдээж сайн анд Вилсонийн (воллейболийн бөмбөг) сэтгэл зүйн дэмжлэгийг дурдахгүй байхын аргагүй. Ер нь арал дээр, эзгүй талд ч юмуу ганцаараа хаягдсан Робинзон Крузод, Чак Ноланд (Том Ханкс) хэн ч байтугай Маслоуын хэрэгцээний шатлалын дагуу үндсэн хэрэгцээ болох хоол унд, аюулгүй амьдрах орчин шаардлагатай. Дараа нь сэтгэлзүйн хэрэгцээ шаардагдана (Вилсон үүнийг орлож байсан нь яамай). Эдгээрийн давчихсан байхад эхний ээлжинд бол дажгүй шүү.

Эдийн засгийн мөчлөгийн онолд ч (ялангуяа Бодит Бизнесийн Мөчлөгийн онолд) мөнгөгүй, санхүүгийн системгүй орчинд бизнесийн мөчлөг хэрхэн явагддагийг тайлбарлахдаа Робинзон Крузогийн туйлын тохиолдлыг ашигладаг. Робинзон Крузог нэг бүтэн эдийн засаг гэж төлөөлүүлэн авч үзвэл бүтээмж нь технологийн шок буюу цаг агаарын нөхцөл байдал хэрхэн нөлөөлж байгааг харуулдаг.

Тухайлбал цаг агаарын байдал ойрын хугацаанд байгаагүйгээр сайжирсан гэж үзье. Энэ нь урьдийнхтайгаа ижил цаг зарцуулаад илүү их бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэх (газар тариалан, загасчлал зэрэг) боломжтой. Тэрээр зөвхөн өнөөгийн хэрэглээнээс гадна ирээдүйн хэрэглээндээ анхаардаг тул чөлөөт цагаа багасгаж, ажиллах цагаа нэмэгдүүлнэ. Өөрөөр хэлбэл хөдөлмөрөө үе хооронд орлуулна. Их хөдөлмөрлөснөөр хадгалах хандлага нэмэгдэх ба дараагийн үе дах капиталын хэмжээ нэмэгдэнэ. Энд эдийн засгийн төлөөлөгч буюу Робинзон Крузо нь рациональ буюу шокт оновчтой хариу үйлдэл үзүүлдэг тул эдийн засаг динамик Парето үр ашигтай. Плоссерийн (1989) үзэж буйгаар шокын хариуд хийгдэж буй үйлдлүүд нь төлөөлөгчдийн сонголтоор хийгдэж байгаа бөгөөд энд хөндлөнгийн ямар нэгэн нөлөө байх ёсгүй (нийгмийн төлөвлөгч, төрийн оролцоо шаардлагагүй). Улмаар мөнгө, санхүүгийн хувьсагчид нөлөө байхгүй зөвхөн бодит хувьсагчид (бодит цалин, бодит хүү зэрэг, бүтээмж)  эдийн засагт нөлөөтэй гэж тайлбарлаж болно.

Өмнөх хэсэгт танилцуулж (OLG) байсан үе хооронд шилжилтийн OLG загварт зөвхөн 2 үеийн авч үзсэн. Харин Робинзон Крузогийн хандлагаар эдийн засгийг хязгааргүй амьдрагч төлөөлөгч нэг нөхрөөр төлөөлүүлэн түүний үйл хөдлөлөөр загварчилж болно. Хязгааргүй амьдрагч төлөөлөгч нь ирээдүйн хэрэглээний өнөөгийн үнэ цэнийг хязгаарлалтуудын хүрээн тооцож үзэн шийдвэрээ гаргадаг. Эндээс үе хооронд шилжилтийн загвараас бизнесийн мөчлөгийн онцлогийн илүү харуулж чаддаг.

Гэхдээ нэг хүний үйл хөдлөл, шийдвэр гаргалтаар бүхэл бүтэн эдийн засгийг төлөөлүүлэн ойлгож болох эсэх тал дээр маргаан бий. Өөрөөр хэлбэл микро түвшингээр макро түвшний эдийн засгийг төлөөлүүлж, тайлбарлаж байна гэсэн үг. Үүнийг хүлээн зөвшөөрөхийн тулд хэд хэдэн урьдач нөхцөлүүдийг бий. Нэгдүгээрт зах зээлийн төгс өрсөлдөөнт гэж үзнэ. Өөрөөр хэлбэл хувьсагчууд уян хатан, бүтээгдэхүүн болон санхүүгийн зах зээлд төгс шилжих боломжтой, эрэлт болон нийлүүлэлт талаасаа төгс өрсөлдөөнт буюу жинхэнэ сонгодог чөлөөт шинж чанарууд хангагдсан эдийн засгийг Робинзон Крузогийн эдийн засгаар төлөөлүүлж болно. Үүнийг MasColell, Whinston, ба Green нар “Микроэдийн засгийн онол” хэмээх 1995 оны бүтээлдээ “Second fundamental welfare theorem”-р тайлбарласан байдаг. Ашиглаж буй техник технологи, таашаал ба анхны нөхцөл ижил үед хязгаарлагдмал хэмжээст эдийн засагт хязгааргүй хугацаа болон бүтээгдэхүүнтэй, төгс өрсөлдөөнт, парето оптимал зах зээл ба нийгмийн төлөвлөгчийн (Робинзон Крузо) шийдвэр гаргалт, тэнцвэрт тогтвортой төлөв ижил гэсэн санаа юм. Эдийн засгийн загварчлалын үндсэн суурь асуудал тул маргаан, мэтгэлцээн дагуулах нь ойлгомжтой. Төгс хэмээн таамаглалд ямар нэгэн үрэлт, хязгаарлалт оруулж ирэхэд л Робинзон Крузогоор төлөөлүүлэх нь зөв эсэхэд эргэлзээ төрүүлнэ. Мэдээж энэ талаар асар болон судалгаанууд байдаг тул дэлгэрэнгүйг холбогдох ажлуудаас харж болно.

ЭХ СУРВАЛЖ 

McCandless, G. (2008). THE ABCs oF RBCs: an introduction to dynamic macroeconomic models. HARVARD UNIVERSITY PRESS.

Robert J. Barro; Xavier Sala-i-Martin. (2004). ECONOMIC GROWTH. Massachusetts Institute of Technology.

Сноудон, & Вейн. (2010). Очрин Үеийн Макроэкономикс

Өмнөх холбоос>Overlapping-generations-model-OLG

Чөлөөт зах зээл